设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2021-01-25 48

问题设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

选项 A、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
B、若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．
C、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
D、若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性无关．

答案A

解析 1 若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则存在一组不全为零的常数k₁，k₂，…，k_s，使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0
两端左乘矩阵A，得
k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=0
因k₁，k₂，…，k_s不全为零，故由线性相关的定义，即知向量组Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关．
2 用排除法
若A=O为零矩阵，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s均为零向量，从而Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，于是选项BD均不对．若A=

，则α₁、α₂线性无关，且Aα₁=α₁与Aα₂=α₂线性无关，故选项C也不对，所以只有选项A正确．

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考研数学三

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