设f(x,y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数,即对任何x,y,t下式成立 f(tx,ty)=t2f(x,y). (1)证明 (2)设D是由L:x2+y2=4正向一周所围成的闭区域,证明: ∮Lf(x,y)ds=div[grad f(x,y)]

admin2018-09-25  29

问题 设f(x,y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数,即对任何x,y,t下式成立
    f(tx,ty)=t2f(x,y).
(1)证明

(2)设D是由L:x2+y2=4正向一周所围成的闭区域,证明:
Lf(x,y)ds=div[grad f(x,y)]dσ.

选项

答案(1)方程f(tx,ty)=t2f(x,y)两边对t求导得 xf1’(tx,ty)+yf2’(tx,ty)=2tf(x.y). 再对t求导得, x[xf21]](tx,ty)+yf12’’(tx,ty)]+y[xf21’’(tx,ty)+yf22’’(tx,ty)]=2f(x,y). 于是 tx[txf11’’(tx,ty)+ty12’’(tx,ty)]+ty[txf21’’(tx,ty)+tyf22’’(tx,ty)]=2t2f(x,y)=2f(tx,ty), 由此得x2fxx’’(x,y)+2xyfxy’’(x,y)+y2fyy’’(x,y)=2f(x,y),即结论成立. (2)由xf1’(tx,ty)+yf2’(tx,ty)=2tf(x,y)得 txf1’(tx,ty)+tyf2’(tx,ty)=2t2f(x,y), 即xfx’(x,y)+yfy’(x,y)=2f(x,y),又 [*] (其中n0为点(x,y)处的单位切向量).

解析
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