设f(x)=(x2+2x+3)e-x，求f(n)(x)．

admin2022-10-31 54

问题设f(x)=(x²+2x+3)e^-x，求f⁽ⁿ⁾(x)．

选项

答案设u(x)=x²+2x+3,v(x)=e^-x．注意到k≥3时，u^(k)(x)=0．应用莱布尼茨公式，有f⁽ⁿ⁾(x)=(x²+2x+3)(e^-x)⁽ⁿ⁾+C_n¹(x²+2x+3)’(e^-x)^(n-1)+C_n²(x²+2x+3)”(e^-x)^(n-2) =(-1)ⁿ(x²+2x+3)e^-x+(-1)^n-1n(2x+2)e^-x+(-1)^(n-2)·n(n-1)e^-x =(-1)ⁿe^-x[x²-2(n-1)x+n²-3n+3]．

解析

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考研数学一

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