[2003年] 曲面z=x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是______．

admin2019-04-08 22

问题 [2003年] 曲面z=x²+y²与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是______．

选项

答案2x+4y—z=5

解析设曲面的显式方程为z=f(x，y)，该曲面的法向量为n=(f’_x，f’_y，一1)=(2x，2y，一1)．设切点坐标为M₀(x₀，y₀，z₀)，则过切点M₁(x₀，y₀，z₀)的切平面的法向量为n=(2x₀，2y₀，一1)．
由假设有

，故x₀=1，y₀=2，因而z₀=x₀²+y₀²=5，故所求的切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z一5)=0，即2x+4y—z=5．

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