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设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a). 已知函数g(x)具有性质
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a). 已知函数g(x)具有性质
admin
2019-06-01
28
问题
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f'(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x
2
-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a).
已知函数g(x)具有性质P(2),给定x
1
,x
2
∈(1,+∞),x
1
<x
2
,设m为实数,a=mx
1
+(1-m)x
2
,β=(1-m)x
1
+mx
2
,且α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|<|g(x
1
)-g(x
2
)|,求m的取值范围.
选项
答案
由题设知,g(x)的导函数g'(x)=h(x)(x
2
-2x+1),其中函数h(x)>0对于任意的x∈(1,+∞)都成立,所以,当x>1时,g'(x)=h(x)(x-1)
2
>0,从而g(x)在区间(1,+∞)上单调递增. ①当m∈(0,1)时,有a=mx
1
+(1-m)x
2
>mx
1
+(1-m)x
1
=x
1
,a<mx
2
+(1-m)x
2
=x
2
,得α∈(x
1
,x
2
),同理可得β∈(x
1
,x
2
),所以由g(x)的单调性知g(α),g(β)∈(g(x
1
),g(x
2
)),从而有∣g(α)-g(β)∣<∣g(x
1
)-g(x
2
)∣,符合题设. ②当m≤0时,α=mx
1
+(1-m)x
2
≥mx
2
+(1-m)x
2
=x
2
,β=(1-m)x
1
+mx
2
≤(1-m)x
1
+mx
1
=x
1
,于是由α>1,β>1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x
1
)<g(x
2
)≤g(α),所以∣g(α)-g(β)∣≥∣g(x
1
)-g(x
2
)∣,与题设不符. ③当m≥1时,同理可得α≤x
1
,β>x
2
,进而得∣g(α)-g(β)∣≥∣g(x
1
)-g(x
2
)∣,与题设不符. 因此,综合①、②、③得所求的m的取值范围为(0,1).
解析
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0
小学数学
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