2. 考研
  3. 确定常数a使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(0，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

确定常数a使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(0，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

admin2020-04-30  22
问题 确定常数a使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(0，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
选项
答案解法1：记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)，由于β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示，故r(A)＜3，从而 ｜A｜=-(a-1)2(a+2)=0，所以a=1或a=-2． 当a=1时，α1=α2=α3=β1=(1，1，1)T，故α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，但β2=(-2，1，4)T不能由α1， α2，α3线性表示，所以a=1符合题意． 当a=-2时。由于 [*] 考虑线性方程组Bx=α2，因为r(B)=2，r(B，α2)=3，所以方程组Bx=α2无解，即α2不能由β1，β2，β3线性表示， 与题设矛盾．因此a=1． 解法2：记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)，对矩阵(A，B)施行初等行变换： [*] 由于β1，β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示，故r(A)＜3，因此a=1或a=-2． 当a=1时， [*] 考虑线性方程组Ax=β2，由于r(A)=1，r(A，β2)=2，故方程组Ax=β2无解，所以β2不能由α1，α2，α3线性表示．另一方面，由于｜B｜=-9≠0，故Bx=αi(i=1，2，3)有唯一解，即α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，所以a=1符合题意． 当a=-2时， [*] 考虑线性方程组Bx=α2， [*] 由于r(B)=2，r(B，α2)=3，故方程组Bx=α2无解，即α2不能由β1，β2，β3线性表示，与题设矛盾．因此a=1．
解析 本题考查向量组的线性表示．要求考生掌握矩阵A=(α1，α2，…，αs，α)经初等行变换变为矩阵B=(β1，β2，…，βs，β)，则A的列向量组α1，α2，…，αs，α与B的列向量组β1，β2，…，βs，β对应的列有相同的线性相关性．方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=α与方程组x1β1+x2β2+…xsβs=β同解．
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