已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为()T． (I)求矩阵A； (II)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2019-07-19 19

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第3列为(

)^T．
(I)求矩阵A；
(II)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案(I)由题设，A的特征值为1，1，0，且(1，0，1)^T为A的属于特征值0的一个特征向量．设(x₁，x₂，x₃)^T为A的属于特征值1的特征向量，因为A的属于不同特征值的特征向量正交，所以(x₁，x₂，x₃)[*]]=0，即x₁+x₃=0，取([*])^T、(0，1，0)^T为A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量．令正交矩阵 [*] (Ⅱ)由(I)知A的特征值为1，1，0，所以A+E的特征值为2，2，1，又A+E为实对称矩阵，所以A+E为正定矩阵．

解析

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考研数学一

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已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为()T． (I)求矩阵A； (II)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

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