设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )

admin2016-04-11 17

问题设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )

选项 A、α₁+α₂，α₂+α₃，α₁+2α₂+α₃．
B、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃一α₁．
C、α₁+2α₂，2α₂+3α₃，3α₃+α₁．
D、α₁+α₂+α₃，2α₁—3α₂+22α₃，3α₁+5α₂—5α₃．

答案C

解析记选项(C)中的3个向量分别为β₁=α₁+2α₂，β₂=2α₂+3α₃，β₃=3α₃+α₁，则利用矩阵乘法可将此线性表示式写成[β₁ β₂ β₃]=[α₁ α₂ α₃]

，因α₁，α₂，α₃线性无关，故矩阵[α₁ α₂ α₃]为列满秩矩阵，而用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，于是
r[β₁ β₂ β₃]=

=3
即知向量组β₁，β₂，β₃线性无关，故选项(C)正确．
用上述方法也容易判别选项(D)中的3个向量线性相关．至于选项(A)、(B)，由观察易知两组向量都是线性相关的．

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