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设f(x)在[0,1]可导,0<f’(x)<1,0<f(x)<1,且F(x)=1/2[x+f(x)]。 设x0∈(0,1),xn+1=F(xn)(n=0,1,2,…),证明:
设f(x)在[0,1]可导,0<f’(x)<1,0<f(x)<1,且F(x)=1/2[x+f(x)]。 设x0∈(0,1),xn+1=F(xn)(n=0,1,2,…),证明:
admin
2021-12-14
71
问题
设f(x)在[0,1]可导,0<f’(x)<1,0<f(x)<1,且F(x)=1/2[x+f(x)]。
设x
0
∈(0,1),x
n+1
=F(x
n
)(n=0,1,2,…),证明:
选项
答案
由已知,x
n+1
=F(x
n
)=1/2[x
n
+f(x
n
)],当n≥1时,有x
n+1
-x
n
=F(x
n
)-F(x
n-1
)=F’(ξ
n
)(x
n
-x
n-1
),其中ξ
n
介于x
n
与x
n-1
之间,又因为F’(ξ
n
)=1/2[1+f’(ξ
n
)]>0,所以x
n+1
-x
n
与x
n
-x
n-1
同号,故{x
n
}单调。由已知,0<x
0
<1,利用归纳法,设0<x
n
<1,则0<x
n+1
=F(x
n
)=1/2[x
n
+f(x
n
)]<1,故{x
n
}有界,由单调有界准则,可知[*]存在。令[*]=a,则a=F(a),a=ξ,故[*]=ξ。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xzf4777K
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考研数学二
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