设A、B均为n/阶矩阵,且AB=A-B,A有n个互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn,证明: (1)λi≠-1(i=1,2,…,n); (2)AB=BA; (3)A的特征向量都是B的特征向量; (4)B可相似对角化.

admin2016-06-30  44

问题 设A、B均为n/阶矩阵,且AB=A-B,A有n个互不相同的特征值λ1,λ2,…,λn,证明:
    (1)λi≠-1(i=1,2,…,n);
    (2)AB=BA;
    (3)A的特征向量都是B的特征向量;
    (4)B可相似对角化.

选项

答案(1)即证|-E-A|≠0,或|E+A|≠0或E+A可逆,这可由AB=A-B[*](A+E)(E-B)=E,[*]A+E可逆,且(A+E)-1=E-B. (2)由(1)的(A+E)-1=E-B,[*](A+E)(E-B)=(E-B)(A+E),即A-AB+E-B=A+E-BA-B.[*]AB=BA. (3)设χ为A的属于特征值λi的特征向量,则Aχ=λiχ,两端左乘B,并利用BA=AB,得A(Bχ)=λi(Bχ),若Bχ≠0,则Bχ亦为A的属于λi的特征向量,因属于λi的特征子空间是一维的,故存在常数μ,使Bχ=μχ,因此χ也是B的特征向量;若Bχ=0,则Bχ=0χ,χ也是B的属于特征值0的特征向量. (4)由条件知A有n个线性无关的特征向量,于是由(3)知B也有n个线性无关的特征向量,故B相似于对角矩阵.

解析
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