2. 考研
  3. 设A、B均为n／阶矩阵，且AB＝A－B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明： (1)λi≠－1(i＝1，2，…，n)； (2)AB＝BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．

设A、B均为n／阶矩阵，且AB＝A－B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明： (1)λi≠－1(i＝1，2，…，n)； (2)AB＝BA； (3)A的特征向量都是B的特征向量； (4)B可相似对角化．

admin2016-06-30  103
问题 设A、B均为n／阶矩阵，且AB＝A－B，A有n个互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn，证明：
    (1)λi≠－1(i＝1，2，…，n)；
    (2)AB＝BA；
    (3)A的特征向量都是B的特征向量；
    (4)B可相似对角化．
选项
答案(1)即证｜－E－A｜≠0，或｜E＋A｜≠0或E＋A可逆，这可由AB＝A－B[*](A＋E)(E－B)＝E，[*]A＋E可逆，且(A＋E)-1＝E－B． (2)由(1)的(A＋E)-1＝E－B，[*](A＋E)(E－B)＝(E－B)(A＋E)，即A－AB＋E－B＝A＋E－BA－B．[*]AB＝BA． (3)设χ为A的属于特征值λi的特征向量，则Aχ＝λiχ，两端左乘B，并利用BA＝AB，得A(Bχ)＝λi(Bχ)，若Bχ≠0，则Bχ亦为A的属于λi的特征向量，因属于λi的特征子空间是一维的，故存在常数μ，使Bχ＝μχ，因此χ也是B的特征向量；若Bχ＝0，则Bχ＝0χ，χ也是B的属于特征值0的特征向量． (4)由条件知A有n个线性无关的特征向量，于是由(3)知B也有n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵．
解析
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考研数学二

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