2. 考研
  3. 设A，B均是n阶非零矩阵，已知A2=A，B2=B，且AB=BA=O，则下列3个说法： ①0未必是A和B的特征值； ②1必是A和B的特征值； ③若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是B的属于特征值0的特征向量． 正确说法的

设A，B均是n阶非零矩阵，已知A2=A，B2=B，且AB=BA=O，则下列3个说法： ①0未必是A和B的特征值； ②1必是A和B的特征值； ③若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是B的属于特征值0的特征向量． 正确说法的

admin2019-08-12  40
问题 设A，B均是n阶非零矩阵，已知A2=A，B2=B，且AB=BA=O，则下列3个说法：
    ①0未必是A和B的特征值；
    ②1必是A和B的特征值；
    ③若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是B的属于特征值0的特征向量．
    正确说法的个数为
选项 A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
答案C
解析 A是n阶非零矩阵，设λ是A的特征值，α是对应的特征向量，则Aα=λα．因为A2=A，于是A2α=Aα，λ2α=λα，(λsup>2一λ)α=0．由于α≠0，故有λ2一λ=0，所以λ=1或0．
    又由于A2=A，即(E—A)A=O，且A≠O，所以齐次线性方程组(E—A)x=0有非零解．从而，|E—A|=0，故知λ=1是A的特征值，又因为AB=O，B≠O，所以齐次线性方程组Ax=0有非零解．由此可知，|A|=0，故λ=0也是A的特征值．
    同样可证，矩阵B的特征值必是1和0．
    由于1是A的特征值，α是对应的特征向量，则有Aα=α．两端左边乘矩阵B，得
                         Bα=B(Aα)=(BA)α．
    因为BA=O，所以       Bα=0=0α．
    由此可知，若α是A的属于特征值1的特征向量，则α必是B的属于特征值0的特征向量．
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考研数学二

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