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设A,B均是n阶非零矩阵,已知A2=A,B2=B,且AB=BA=O,则下列3个说法: ①0未必是A和B的特征值; ②1必是A和B的特征值; ③若α是A的属于特征值1的特征向量,则α必是B的属于特征值0的特征向量. 正确说法的
设A,B均是n阶非零矩阵,已知A2=A,B2=B,且AB=BA=O,则下列3个说法: ①0未必是A和B的特征值; ②1必是A和B的特征值; ③若α是A的属于特征值1的特征向量,则α必是B的属于特征值0的特征向量. 正确说法的
admin
2019-08-12
64
问题
设A,B均是n阶非零矩阵,已知A
2
=A,B
2
=B,且AB=BA=O,则下列3个说法:
①0未必是A和B的特征值;
②1必是A和B的特征值;
③若α是A的属于特征值1的特征向量,则α必是B的属于特征值0的特征向量.
正确说法的个数为
选项
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
答案
C
解析
A是n阶非零矩阵,设λ是A的特征值,α是对应的特征向量,则Aα=λα.因为A
2
=A,于是A
2
α=Aα,λ
2
α=λα,(λsup>2一λ)α=0.由于α≠0,故有λ
2
一λ=0,所以λ=1或0.
又由于A
2
=A,即(E—A)A=O,且A≠O,所以齐次线性方程组(E—A)x=0有非零解.从而,|E—A|=0,故知λ=1是A的特征值,又因为AB=O,B≠O,所以齐次线性方程组Ax=0有非零解.由此可知,|A|=0,故λ=0也是A的特征值.
同样可证,矩阵B的特征值必是1和0.
由于1是A的特征值,α是对应的特征向量,则有Aα=α.两端左边乘矩阵B,得
Bα=B(Aα)=(BA)α.
因为BA=O,所以 Bα=0=0α.
由此可知,若α是A的属于特征值1的特征向量,则α必是B的属于特征值0的特征向量.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uSN4777K
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考研数学二
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