设f(χ)在[a,b]二阶可导,f(χ)>0,f〞(χ)<0((χ∈(a,b)),求证:.

admin2016-10-21  12

问题 设f(χ)在[a,b]二阶可导,f(χ)>0,f〞(χ)<0((χ∈(a,b)),求证:

选项

答案联系f(χ)与f〞(χ)的是泰勒公式. [*]χ0∈[a,b],f(χ0)=[*]f(χ).将f(χ0)在[*]χ∈[a,b]展开,有 f(χ0)=f(χ)+f′(χ)(χ0-χ)+[*]f〞(ξ)(χ0-χ)2(ξ在χ0与χ之间) <f(χ)+f′(χ)(χ0-χ) ([*]χ∈[a,b],χ≠χ0). 两边在[a,b]上积分得 ∫abf(χ0)dχ<∫abf(χ)dχ+∫f′(χ)(χ0-χ)dχ=∫abf(χ)dχ+∫ab0-χ)df(χ) =∫abf(χ)dχ-(b-χ0)f(b)-(χ0-a)f(a)+∫abf(χ)dχ ≤2∫abf(χ)dχ. 因此f(χ)(b-a)<2∫f(χ)dχ,即[*]

解析
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