2. 考研
  3. 设f(χ)在[a，b]二阶可导，f(χ)＞0，f〞(χ)＜0((χ∈(a，b))，求证：．

设f(χ)在[a，b]二阶可导，f(χ)＞0，f〞(χ)＜0((χ∈(a，b))，求证：．

admin2016-10-21  16
问题 设f(χ)在[a，b]二阶可导，f(χ)＞0，f〞(χ)＜0((χ∈(a，b))，求证：．
选项
答案联系f(χ)与f〞(χ)的是泰勒公式． [*]χ0∈[a，b]，f(χ0)＝[*]f(χ)．将f(χ0)在[*]χ∈[a，b]展开，有 f(χ0)＝f(χ)＋f′(χ)(χ0－χ)＋[*]f〞(ξ)(χ0－χ)2(ξ在χ0与χ之间) ＜f(χ)＋f′(χ)(χ0－χ) ([*]χ∈[a，b]，χ≠χ0)． 两边在[a，b]上积分得 ∫abf(χ0)dχ＜∫abf(χ)dχ＋∫f′(χ)(χ0－χ)dχ＝∫abf(χ)dχ＋∫ab(χ0－χ)df(χ) ＝∫abf(χ)dχ－(b－χ0)f(b)－(χ0－a)f(a)＋∫abf(χ)dχ ≤2∫abf(χ)dχ． 因此f(χ)(b－a)＜2∫f(χ)dχ，即[*]
解析
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考研数学二

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