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设f(χ)在[a,b]二阶可导,f(χ)>0,f〞(χ)<0((χ∈(a,b)),求证:.
设f(χ)在[a,b]二阶可导,f(χ)>0,f〞(χ)<0((χ∈(a,b)),求证:.
admin
2016-10-21
12
问题
设f(χ)在[a,b]二阶可导,f(χ)>0,f〞(χ)<0((χ∈(a,b)),求证:
.
选项
答案
联系f(χ)与f〞(χ)的是泰勒公式. [*]χ
0
∈[a,b],f(χ
0
)=[*]f(χ).将f(χ
0
)在[*]χ∈[a,b]展开,有 f(χ
0
)=f(χ)+f′(χ)(χ
0
-χ)+[*]f〞(ξ)(χ
0
-χ)
2
(ξ在χ
0
与χ之间) <f(χ)+f′(χ)(χ
0
-χ) ([*]χ∈[a,b],χ≠χ
0
). 两边在[a,b]上积分得 ∫
a
b
f(χ
0
)dχ<∫
a
b
f(χ)dχ+∫f′(χ)(χ
0
-χ)dχ=∫
a
b
f(χ)dχ+∫
a
b
(χ
0
-χ)df(χ) =∫
a
b
f(χ)dχ-(b-χ
0
)f(b)-(χ
0
-a)f(a)+∫
a
b
f(χ)dχ ≤2∫
a
b
f(χ)dχ. 因此f(χ)(b-a)<2∫f(χ)dχ,即[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uTt4777K
0
考研数学二
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