设f(χ)在[a，b]二阶可导，f(χ)＞0，f〞(χ)＜0((χ∈(a，b))，求证：．

admin2016-10-21 50

问题设f(χ)在[a，b]二阶可导，f(χ)＞0，f〞(χ)＜0((χ∈(a，b))，求证：

．

选项

答案联系f(χ)与f〞(χ)的是泰勒公式． [*]χ₀∈[a，b]，f(χ₀)＝[*]f(χ)．将f(χ₀)在[*]χ∈[a，b]展开，有 f(χ₀)＝f(χ)＋f′(χ)(χ₀－χ)＋[*]f〞(ξ)(χ₀－χ)²(ξ在χ₀与χ之间) ＜f(χ)＋f′(χ)(χ₀－χ) ([*]χ∈[a，b]，χ≠χ₀)．两边在[a，b]上积分得 ∫_a^bf(χ₀)dχ＜∫_a^bf(χ)dχ＋∫f′(χ)(χ₀－χ)dχ＝∫_a^bf(χ)dχ＋∫_a^b(χ₀－χ)df(χ) ＝∫_a^bf(χ)dχ－(b－χ₀)f(b)－(χ₀－a)f(a)＋∫_a^bf(χ)dχ ≤2∫_a^bf(χ)dχ．因此f(χ)(b－a)＜2∫f(χ)dχ，即[*]

解析

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