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设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: 存在η∈[1/2,1],使f(η)=η;
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: 存在η∈[1/2,1],使f(η)=η;
admin
2019-03-22
45
问题
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证:
存在η∈[1/2,1],使f(η)=η;
选项
答案
因已知f(x)在区间两端点的取值,可试用零点定理证之.事实上,设φ(x)=f(x)-x,则φ(x)在[0,1]上连续,又φ(1)=-1<0,φ(1/2)=1/2>0.由零点定理知,存在η∈(1/2,1),使得φ(η)=f(η)-η=0,即f(η)=η.
解析
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考研数学三
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