设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1／2)=1．试证：存在η∈[1／2，1]，使f(η)=η；

admin2019-03-22 69

问题设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f(1／2)=1．试证：
存在η∈[1／2，1]，使f(η)=η；

选项

答案因已知f(x)在区间两端点的取值，可试用零点定理证之．事实上，设φ(x)=f(x)-x，则φ(x)在[0，1]上连续，又φ(1)=－1＜0，φ(1／2)=1／2＞0．由零点定理知，存在η∈(1／2，1)，使得φ(η)=f(η)－η=0，即f(η)=η．

解析

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考研数学三

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