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(2018年)设数列{xn}满足:x1>0,xnexn+1=exn一1(n=1,2,…).证明{xn}收敛,并求.
(2018年)设数列{xn}满足:x1>0,xnexn+1=exn一1(n=1,2,…).证明{xn}收敛,并求.
admin
2018-07-24
105
问题
(2018年)设数列{x
n
}满足:x
1
>0,x
n
e
x
n+1
=e
x
n
一1(n=1,2,…).证明{x
n
}收敛,并求
.
选项
答案
由于x
1
≠0,所以 [*] 根据微分中值定理,存在ξ∈(0,x
1
),使得 [*] 所以e
x
2
=e
ξ
,故0<x
2
<x
1
. 假设0<x
n+1
<x
n
,则 [*] 所以0<x
n+2
<x
n+1
. 故{x
n
}是单调减少的数列,且有下界,从而{x
n
}收敛. 设 [*] 得ae
a
=e
a
一1.易知a=0为其解. 令f(x)=xe
x
一e
x
+1,则f(x)=xe
x
. 当x>0时,f’(x)>0,函数f(x)在[0,+∞)上单调增加,所以a=0是方程ae
a
=e
a
一1在[0,+∞) 上的唯一解,故 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YLW4777K
0
考研数学三
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