A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．

admin2017-07-10 33

问题 A=

，求作一个3阶可逆矩阵P，使得P^TAP是对角矩阵．

选项

答案对这样的题，可能会想到构造正交矩阵Q，使得Q^－1AQ是对角矩阵，则Q^TAQ=Q^－1AQ是对角矩阵．这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的矩阵用本课程的知识是不能求出特征值的．即使可以求出，这个方法的计算量也比较大．一个比较简单的方法是利用与A对应的二次型用配方法标准化，则变换矩阵就是所求． f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=x₁²+4x₂²－2x₃²－4x₁x₂+4x₂x₃=(x₁－2x₂)²－2x₃²+4x₂x₃ =(x₁－2x₂)²－2(x₂－x₃)²+2x₂²． [*] 原二次型化为f(x₁，x₂，x₃)=y₁²－2y₂²+2y₃²．从上面的公式反解得变换公式： [*] 变换矩阵 [*]

解析

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考研数学二

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A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．

考研数学二

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