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设不恒为常数的函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b).其中c为(a,b)内的一点,试证:存在点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)
设不恒为常数的函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b).其中c为(a,b)内的一点,试证:存在点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)
admin
2017-05-31
56
问题
设不恒为常数的函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(c)=f(b).其中c为(a,b)内的一点,试证:存在点ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)<0.
选项
答案
由题设知,f(x)在[a,c]和[c,d]上分别满足洛尔定理的全部条件,由洛尔定理,存在点a
1
∈(a,c),b
1
∈(c,b),使得f’(a
1
)=f’(b
1
)=0. 又f’(x)在[a
1
,b
1
]上可导且不恒等于零,所以,必存在点a
2
∈(a
1
,b
1
),使得f’(a
2
)>0,或存在点a
3
∈(a
1
,b
1
),使得f’(a
3
)<0. 当存在a
2
∈(a
1
,b
1
),使f’(a
2
)>0时,由拉格朗日中值定理,存在点ξ∈(a
2
,b
1
),使得[*] 当存在a
3
∈(a
1
,b
1
),使f’(a
3
)<0时,由拉格朗日中值定理,存在点ξ∈(a
3
,b
1
),使得[*] 综上可知,存在点ξ∈(a
1
,b
1
)[*](a,b),使得f’’(ξ)<0.
解析
由题设知,可在[a,c],[c,b]上分别对f(x)用洛尔定理,存在点a
1
∈(a,c),b
1
∈(c,b),使得f’(a
1
)=f’(b
1
)=0.但f(x)不恒等于常数,可知f’(x)≠0.从而可知,
f’(x)在[a
1
,b
1
]上可导,不恒等于零,且f’(a
1
)=f’(b
1
)=0.然后可用拉格朗日中值定理证明存在点ξ∈(a
1
,b
1
),使得f’’(ξ)<0.
为了证明存在点ξ ∈(a,b),使得f’’(ξ)<0,我们可对f(x)应用拉格朗日中值定理和洛尔定理,再对f’(x)应用拉格朗日中值定理.一般来说,若要从函数f(x)的性质出发去证明其k阶导数f
(k)
(x)在某点满足指定的要求,需要对f(x),f’(x),…,f
(k-1)
(x)依次运用微分中值定理.
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考研数学一
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