2. 考研
  3. 已知向量组 (I)：α1，α2，α3； (II)：α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)：α1，α2，α3，α5． 如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4． 证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

已知向量组 (I)：α1，α2，α3； (II)：α1，α2，α3，α4； (Ⅲ)：α1，α2，α3，α5． 如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4． 证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

admin2013-04-04  56
问题 已知向量组
(I)：α1，α2，α3；
(II)：α1，α2，α3，α4；
(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．
如果各向量组的秩分别为r(I)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4．
证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．
选项
答案r(I)=r(Ⅱ)=3，所以α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，因此α4可 由α1，α2，α3线性表出，设为α4=l1α1+l2α2+l3α3． 若k1α1+k2α2+k3α3+k4(α5-α4)=0，即 (k1-l1k4)α1+(k2-l2k4)α2+(k3-l3k4)α3+k4α5=0， 由于r(Ⅲ)=4， 即α1，α2，α3，α5线性无关，故必有 [*] 解出k4=0，k3=0，k2=0，k1=0． 于是α1，α2，α3，α5-α4线性无关，即其秩为4．
解析
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考研数学一

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