求微分方程y"+2y’+2y=2e一xcos2的通解．

admin2019-05-11 35

问题求微分方程y"+2y’+2y=2e^一xcos²

的通解．

选项

答案应先用三角公式将自由项写成 e^一x+e^一x cos x，然后再用叠加原理用待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为 Y=(C₁cos x+C₂sin x)e^一x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e^一x，e^一xxcos x，分别考虑 y"+2y’+2y=e^一x， ① 与 y"+2y’+2y=e^一x cos x． ② 对于式①，令 y₁^*=Ae^一x，代入可求得A=1，从而得y₁^*=e^一x．对于式②，令 y₂^*=xe^一x(Bcosx+Csin x)，代入可求得B=0，C=[*]．由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y₁^*+y₂^*=e^一x(C₁cos x+C₂sin x)+e^一x+[*]xe^一xsin x，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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