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设f(x)在[1,+∞)上连续,且f(x)>0,求φ(x)=∫1x[(+lnt)]f(t)dt(x≥1)的最小值,其中∫12f(x)dx=a, ∫12(+lnx)f(x)dx=b.
设f(x)在[1,+∞)上连续,且f(x)>0,求φ(x)=∫1x[(+lnt)]f(t)dt(x≥1)的最小值,其中∫12f(x)dx=a, ∫12(+lnx)f(x)dx=b.
admin
2017-07-26
26
问题
设f(x)在[1,+∞)上连续,且f(x)>0,求φ(x)=∫
1
x
[(
+lnt)]f(t)dt(x≥1)的最小值,其中∫
1
2
f(x)dx=a, ∫
1
2
(
+lnx)f(x)dx=b.
选项
答案
[*] 由f(x)>0,得∫
1
x
f(t)dt≥0(因为x≥1). 令φ’(x)=0,得x=2. 又当1≤x<2时,φ’(x)≤0;当x>2时,φ’(x)≥0.所以,x=2是φ(x)的极小值点, 又驻点唯一,故x=2是φ(x)的最小值点,且最小值为 φ(2)=(1+ln2)∫
1
2
f(x)dx一∫
1
2
([*]+lnx)f(x)dx =(1+ln2)a—b.
解析
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考研数学三
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