设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且AT=A*，证明A是正交矩阵．

admin2019-03-21 43

问题设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且A^T=A^*，证明A是正交矩阵．

选项

答案AA^T=AA^*=｜A｜E，因此只用证明｜A｜=1，就可由定义得出A是正交矩阵．由于A≠0，有非零元素，设a_ij≠0．则AA^T的(i，i)位元素｜A｜=a_i1²+a_i2²+…+a_ij²+…+a_in²＞0，从而AA^T≠0．对等式AA^T=｜A｜E，两边取行列式，得｜A｜²=｜A｜ⁿ，即｜A｜^n-1=1．又由｜A｜＞0，得出｜A｜=1．

解析

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