求证：ex+e-x+2cosx=5恰有两个根．

admin2016-10-20 48

问题求证：e^x+e^-x+2cosx=5恰有两个根．

选项

答案引入函数f(x)=e^x+e^-x+2cosx-5，则f(x)是(-∞，+∞)上的连续偶函数，且f(0)=-1＜0，f’(x)=e^x-e^-x-2sinx，从而f’(0)=0．又f’’(x)=e^x+e^-x-2cosx=[*]+2(1-cosx)＞0([*]＞0)成立，由此可见f’(x)当x≥0时单调增加，于是f’(x)＞f’(0)=0当x＞0时成立．这表明f(x)在x≥0是单调增加的．注意f(π)=e^π+e^-π-7＞2³-7=1＞0，故根据闭区间上连续函数的性质可知f(x)=0在(0，π)内至少有一个根，结合f(x)在x≥0严格单调增加可知f(x)=0有且仅有一个正根．由f(x)为(-∞，+∞)上偶函数，f(x)=0还有且仅有一个负根．故方程e^x+e^-x+2cosx=5恰有两个根．

解析

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考研数学三

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