2. 考研
  3. f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，0(x∈(0，1))； (Ⅱ) 自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=．

f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，0(x∈(0，1))； (Ⅱ) 自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=．

admin2021-05-20  19
问题 f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，<0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
    (Ⅰ) f(x)>0(x∈(0，1))；
    (Ⅱ)  自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f’(xn)=．
选项
答案(Ⅰ) 如图 [*] 由题设条件及罗尔定理，[*]a∈(0，1)，f’(a)=0．由f"(x)<0(x∈(0，1))[*]f’(x)在(0，1)↘ [*] [*]f(x)在[0，a][*]，在[a，1]↘ [*]f(x)>f(0)=0(0f(1)=0(a≤x<1) [*]f(x)>0(x∈(0，1))． (Ⅱ) 由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M>0． 要证f’(x)－[*]在(0，1)存在零点[*]在(0，1)存在零点．对n=1，2，3，…引入辅助函数Fn(x)=f(x)－[*]Fn(x)在[0，1]连续，在(0，1)可导，要证F’n(x)=f’(x)－[*]在[0，1)[*]零点，只须在[0，1]中找两点，Fn(x)的函数值相等．Fn(0)=f(0)=0．再找Fn(x)在(0，1)的一个零点． 因[*]存在ξn∈(xM，1)使得Fn(ξn)=0 在[0，ξn][*][0，1]上对Fn(x)用罗尔定理[*]存在xn∈(0，ξn)[*](0，1)，F’n(xn)=0，即f’(xn)=[*]
解析
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考研数学一

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