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f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,0(x∈(0,1)); (Ⅱ) 自然数n,存在唯一的xn∈(0,1),使得f’(xn)=.
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,0(x∈(0,1)); (Ⅱ) 自然数n,存在唯一的xn∈(0,1),使得f’(xn)=.
admin
2021-05-20
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问题
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,
<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证:
(Ⅰ) f(x)>0(x∈(0,1));
(Ⅱ)
自然数n,存在唯一的x
n
∈(0,1),使得f’(x
n
)=
.
选项
答案
(Ⅰ) 如图 [*] 由题设条件及罗尔定理,[*]a∈(0,1),f’(a)=0.由f"(x)<0(x∈(0,1))[*]f’(x)在(0,1)↘ [*] [*]f(x)在[0,a][*],在[a,1]↘ [*]f(x)>f(0)=0(0
f(1)=0(a≤x<1) [*]f(x)>0(x∈(0,1)). (Ⅱ) 由题设知存在x
M
∈(0,1)使得f(x
M
)=M>0. 要证f’(x)-[*]在(0,1)存在零点[*]在(0,1)存在零点.对n=1,2,3,…引入辅助函数F
n
(x)=f(x)-[*]F
n
(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,要证F’
n
(x)=f’(x)-[*]在[0,1)[*]零点,只须在[0,1]中找两点,F
n
(x)的函数值相等.F
n
(0)=f(0)=0.再找F
n
(x)在(0,1)的一个零点. 因[*]存在ξ
n
∈(x
M
,1)使得F
n
(ξ
n
)=0 在[0,ξ
n
][*][0,1]上对F
n
(x)用罗尔定理[*]存在x
n
∈(0,ξ
n
)[*](0,1),F’
n
(x
n
)=0,即f’(x
n
)=[*]
解析
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考研数学一
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