已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=A。

admin2017-01-14  24

问题 已知矩阵A=有特征值λ=5,求a的值;当a>0时,求正交矩阵Q,使Q-1AQ=A。

选项

答案因λ=5是矩阵A的特征值,则由 |5E-A|=[*]=3(4-a2)=0, 可得a=±2。 当a=2时,矩阵A的特征多项式 |λE-A|=[*]=(λ-2)(λ-5)(λ-1), 矩阵A的特征值是1,2,5。 由(E-A)x=0得基础解系α1=(0,1,-1)T;由(2E-A)x=0得基础解系α2=(1,0,0)T;由(5E-A)x=0得基础解系α3=(0,1,1)T。即矩阵A属于特征值1,2,5的特征向量分别是α1,α2,α3。 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故只需单位化,则 [*]

解析
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