设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．证明：r(A)=2；

admin2017-02-21 51

问题设3阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂．
证明：r(A)=2；

选项

答案由α₃=α₁+2α₂可得α₁+α₂-α₃=0，即α₁，α₂，α₃线性相关，因此，|A|=|α₁α₂α₃|=0，即A的特征值必有0．又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0．且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为[*]，λ₁≠λ₂≠0所以r(A)=r([*])=2．

解析

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