设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2. 证明:r(A)=2;

admin2017-02-21  32

问题 设3阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α31+2α2
证明:r(A)=2;

选项

答案由α31+2α2可得α123=0,即α1,α2,α3线性相关,因此,|A|=|α1α2α3|=0,即A的特征值必有0. 又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0. 且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为[*],λ1≠λ2≠0所以r(A)=r([*])=2.

解析
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