[2013年] 设D是由曲线y=x1/3，直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，Vx，Vy分别是D绕x轴、y轴旋转一周所得旋转体体积，若Vy=10Vx,求a的值．

admin2021-01-19 71

问题 [2013年] 设D是由曲线y=x^1/3，直线x=a(a＞0)及x轴所围成的平面图形，V_x，V_y分别是D绕x轴、y轴旋转一周所得旋转体体积，若V_y=10V_x,求a的值．

选项

答案 x轴上的曲边梯形绕x轴旋转所生成的旋转体体积公式为V_x=∫₀^aπy²dx计算，x轴上的曲边梯形绕y轴旋转一周所得旋转体体积可按V_y=∫₀^a2πxydx计算．如图1．3．5．7所示， [*] 按旋转体体积公式分别得到 V_x=πy²dx=π∫₀^ax^2/3dx=π·[*]πa^5/3， V_x=2π∫₀^axydx=2π∫₀^ax·x^1/3dx=2π·[*]πa^7/3．由题设有[*]=πa^7/3=10·[*]πa^5/3，解之得a=7^3/2=7√7．

解析

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