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设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f’’’(ξ)=3.
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f’’’(ξ)=3.
admin
2019-08-01
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问题
设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f’’’(ξ)=3.
选项
答案
[详解] 在x=0处,将f(x)按泰勒公式展开,得[*] 其中η介于0与x之间,x∈[-1,1]. 分别令x=-1和x=1,并根据已知条件,得[*] 两式相减,可得 f’’’(η
1
)+f’’’(η
2
)=6. 由f’’’(x)的连续性,f’’’(x)在闭区间[η
1
,η)
2
]上有最大值和最小值,设它们分别为M和m,则有 [*] 再由连续函数的介值定理知,至少存在一点ξ∈[η
1
,η
2
][*](-1,1),使 [*]
解析
[分析] 一般来说,题设条件具有二阶或二阶以上的导数时,往往需要应用泰勒公式.本题题设具有三阶连续导数,从要证的结论可以看出,应展开到三阶导数项.
[评注1] 一般地,用泰勒公式展开有
F(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x+x
0
)+
其中在x
0
与x之间.应特别注意的是,ξ随x的变化而变化.本题中,当x分别取-1和1时,对应η应分别取η
1
和η
2
,并不是固定不变的,否则就会出现错误.
[评注2] 在泰勒展开式中,x
0
的选取也是值得注意的.一般来说,取x
0
为一阶导数值是已知的点(如:本例中f’(0)=0)或隐含已知的点,比如极值点、最值点等.
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考研数学二
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