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设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…),则下列结论正确的是( )
设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令un=f(n)(n=1,2,…),则下列结论正确的是( )
admin
2017-12-29
91
问题
设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数,且f"(x)>0,令u
n
=f(n)(n=1,2,…),则下列结论正确的是( )
选项
A、若u
1
>u
2
,则{u
n
}必收敛
B、若u
1
>u
2
,则{u
n
}必发散
C、若u
1
<u
2
,则{u
n
}必收敛
D、若u
1
<u
2
,则{u
n
}必发散
答案
D
解析
本题依据函数f(x)的性质选取特殊的函数数列,判断数列{u
n
= f(n)}的敛散性。
取f(x)=—lnx,f"(x)=
>0,u
1
=— lnl=0>— ln2=u
2
,而f(n)=—lnn发散,则可排除A;
取f(x)=
>0,u
1
=1>
=u
2
,而f(n)=
收敛,则可排除B;
取f(x)=x
2
,f"(x)=2>0,u
1
=1<4=u
2
,而f(n)=n
2
发散,则可排除C;
故选D。
事实上,若u
1
<u
2
,则
=f’(ξ
1
)>0。而对任意x∈(ξ
1
,+∞),由f"(x)>0,所以f’(x)>f’(ξ
1
)>ξ
1
∈(1,2)>0,对任意ξ
2
∈(ξ
1
,+∞),f(x)=f(ξ
1
)+f’(ξ
2
)(x—ξ
1
)→+∞(x→+∞)。
故选D。
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考研数学三
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