2. 考研
  3. 设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f"（x）＞0，令un=f（n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是（ ）

设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f"（x）＞0，令un=f（n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是（ ）

admin2017-12-29  57
问题 设函数f（x）在（0，+∞）上具有二阶导数，且f"（x）＞0，令un=f（n）（n=1，2，…），则下列结论正确的是（     ）
选项 A、若u1＞u2，则{un}必收敛
B、若u1＞u2，则{un}必发散
C、若u1＜u2，则{un}必收敛
D、若u1＜u2，则{un}必发散
答案D
解析 本题依据函数f（x）的性质选取特殊的函数数列，判断数列{un= f（n）}的敛散性。
取f（x）=—lnx，f"（x）=＞0，u1=— lnl=0＞— ln2=u2，而f（n）=—lnn发散，则可排除A；
取f（x）=＞0，u1=1＞=u2，而f（n）=收敛，则可排除B；
取f（x）=x2，f"（x）=2＞0，u1=1＜4=u2，而f（n）=n2发散，则可排除C；
故选D。
事实上，若u1＜u2，则=f’（ξ1）＞0。而对任意x∈（ξ1，+∞），由f"（x）＞0，所以f’（x）＞f’（ξ1）＞ξ1∈（1，2）＞0，对任意ξ2∈（ξ1，+∞），f（x）=f（ξ1）+f’（ξ2）（x—ξ1）→+∞（x→+∞）。
故选D。
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考研数学三

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