设二维随机变量(X，Y)服从区域一1≤x≤1，0≤y≤2上的均匀分布，求二次曲面+2x1x2+2Xx1x3=1为椭球面的概率．

admin2016-11-03 27

问题设二维随机变量(X，Y)服从区域一1≤x≤1，0≤y≤2上的均匀分布，求二次曲面

+2x₁x₂+2Xx₁x₃=1为椭球面的概率．

选项

答案所给二次型的矩阵为 [*] 二次型正定就是其矩阵A正定，而A正定的充要条件是A的所有主子式全大于零，即｜A｜=Y一2X²＞0．因而所给二次型为正定二次型，即二次曲面为椭球面的概率为 p=P(Y一2X²＞0)．由题设知，二维随机变量(X，Y)的概率密度为 [*] 故p=P(Y一2X²＞0)=[*]dxdy，其中D：2x²≤y≤2(见下图)，则 [*] [*]

解析为使所给的二次曲面为椭球面，可通过正交变换将其化为标准形：
f=λ₁

其中λ₁，λ₂，λ₃必全大于零．这时该二次型为正定二次型，于是问题转化为求所给二次型为正定二次型的概率．

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考研数学一

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