设二维随机变量(X,Y)服从区域一1≤x≤1,0≤y≤2上的均匀分布,求二次曲面+2x1x2+2Xx1x3=1为椭球面的概率.

admin2016-11-03  31

问题 设二维随机变量(X,Y)服从区域一1≤x≤1,0≤y≤2上的均匀分布,求二次曲面+2x1x2+2Xx1x3=1为椭球面的概率.

选项

答案所给二次型的矩阵为 [*] 二次型正定就是其矩阵A正定,而A正定的充要条件是A的所有主子式全大于零,即 |A|=Y一2X2>0. 因而所给二次型为正定二次型,即二次曲面为椭球面的概率为 p=P(Y一2X2>0). 由题设知,二维随机变量(X,Y)的概率密度为 [*] 故p=P(Y一2X2>0)=[*]dxdy, 其中D:2x2≤y≤2(见下图),则 [*] [*]

解析 为使所给的二次曲面为椭球面,可通过正交变换将其化为标准形:
f=λ1
其中λ1,λ2,λ3必全大于零.这时该二次型为正定二次型,于是问题转化为求所给二次型为正定二次型的概率.
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