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  3. 设二维随机变量(X，Y)服从区域一1≤x≤1，0≤y≤2上的均匀分布，求二次曲面+2x1x2+2Xx1x3=1为椭球面的概率．

设二维随机变量(X，Y)服从区域一1≤x≤1，0≤y≤2上的均匀分布，求二次曲面+2x1x2+2Xx1x3=1为椭球面的概率．

admin2016-11-03  49
问题 设二维随机变量(X，Y)服从区域一1≤x≤1，0≤y≤2上的均匀分布，求二次曲面+2x1x2+2Xx1x3=1为椭球面的概率．
选项
答案所给二次型的矩阵为 [*] 二次型正定就是其矩阵A正定，而A正定的充要条件是A的所有主子式全大于零，即 ｜A｜=Y一2X2＞0． 因而所给二次型为正定二次型，即二次曲面为椭球面的概率为 p=P(Y一2X2＞0)． 由题设知，二维随机变量(X，Y)的概率密度为 [*] 故p=P(Y一2X2＞0)=[*]dxdy， 其中D：2x2≤y≤2(见下图)，则 [*] [*]
解析 为使所给的二次曲面为椭球面，可通过正交变换将其化为标准形：
f=λ1
其中λ1，λ2，λ3必全大于零．这时该二次型为正定二次型，于是问题转化为求所给二次型为正定二次型的概率．
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考研数学一

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