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  3. 设n阶实对称矩阵A满足A4+6A3+9A2-6A-10E=O，求Ak，k为任意正整数．

设n阶实对称矩阵A满足A4+6A3+9A2-6A-10E=O，求Ak，k为任意正整数．

admin2021-07-27  48
问题 设n阶实对称矩阵A满足A4+6A3+9A2-6A-10E=O，求Ak，k为任意正整数．
选项
答案设λ为A的任一特征值，则λ4+6λ3+9λ2-6λ-10为A4+6A3+9A2-6A-10E (*)的特征值．因(*)为零矩阵，故其特征值全为0，即λ4+6λ3+9λ2-6λ-10=0，也即(λ+1)(λ-1)(λ2+6λ+10)=0．其中λ2+6λ+10=0的判别式△＜0，故无实根，而实对称矩阵的特征值均为实数，故λ只能是1或-1．由实对称矩阵必可相似对角化，知存在可逆矩阵P，使得P-1AP=A，即A=PAP-1．当k为偶数时，记k=2m，m为正整数，有Ak=A2m=PA2mP-1=P(A2)mP-1[*]其中λi为1或-1，于是λi2=1，i=1，2，…，n．当k为奇数时，记k=2m-1，m为正整数，有Ak=A2m-1=A2m-2A=EA=A．
解析
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考研数学二

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