设n阶实对称矩阵A满足A4+6A3+9A2-6A-10E=O，求Ak，k为任意正整数．

admin2021-07-27 47

问题设n阶实对称矩阵A满足A⁴+6A³+9A²-6A-10E=O，求A^k，k为任意正整数．

选项

答案设λ为A的任一特征值，则λ⁴+6λ³+9λ²-6λ-10为A⁴+6A³+9A²-6A-10E (*)的特征值．因(*)为零矩阵，故其特征值全为0，即λ⁴+6λ³+9λ²-6λ-10=0，也即(λ+1)(λ-1)(λ²+6λ+10)=0．其中λ²+6λ+10=0的判别式△＜0，故无实根，而实对称矩阵的特征值均为实数，故λ只能是1或-1．由实对称矩阵必可相似对角化，知存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=A，即A=PAP^-1．当k为偶数时，记k=2m，m为正整数，有A^k=A^2m=PA^2mP^-1=P(A²)^mP^-1[*]其中λ_i为1或-1，于是λ_i²=1，i=1，2，…，n．当k为奇数时，记k=2m-1，m为正整数，有A^k=A^2m-1=A^2m-2A=EA=A．

解析

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