设n阶实对称矩阵A满足A4+6A3+9A2-6A-10E=O,求Ak,k为任意正整数.

admin2021-07-27  29

问题 设n阶实对称矩阵A满足A4+6A3+9A2-6A-10E=O,求Ak,k为任意正整数.

选项

答案设λ为A的任一特征值,则λ4+6λ3+9λ2-6λ-10为A4+6A3+9A2-6A-10E (*)的特征值.因(*)为零矩阵,故其特征值全为0,即λ4+6λ3+9λ2-6λ-10=0,也即(λ+1)(λ-1)(λ2+6λ+10)=0.其中λ2+6λ+10=0的判别式△<0,故无实根,而实对称矩阵的特征值均为实数,故λ只能是1或-1.由实对称矩阵必可相似对角化,知存在可逆矩阵P,使得P-1AP=A,即A=PAP-1.当k为偶数时,记k=2m,m为正整数,有Ak=A2m=PA2mP-1=P(A2)mP-1[*]其中λi为1或-1,于是λi2=1,i=1,2,…,n.当k为奇数时,记k=2m-1,m为正整数,有Ak=A2m-1=A2m-2A=EA=A.

解析
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