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设n阶实对称矩阵A满足A4+6A3+9A2-6A-10E=O,求Ak,k为任意正整数.
设n阶实对称矩阵A满足A4+6A3+9A2-6A-10E=O,求Ak,k为任意正整数.
admin
2021-07-27
31
问题
设n阶实对称矩阵A满足A
4
+6A
3
+9A
2
-6A-10E=O,求A
k
,k为任意正整数.
选项
答案
设λ为A的任一特征值,则λ
4
+6λ
3
+9λ
2
-6λ-10为A
4
+6A
3
+9A
2
-6A-10E (*)的特征值.因(*)为零矩阵,故其特征值全为0,即λ
4
+6λ
3
+9λ
2
-6λ-10=0,也即(λ+1)(λ-1)(λ
2
+6λ+10)=0.其中λ
2
+6λ+10=0的判别式△<0,故无实根,而实对称矩阵的特征值均为实数,故λ只能是1或-1.由实对称矩阵必可相似对角化,知存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP=A,即A=PAP
-1
.当k为偶数时,记k=2m,m为正整数,有A
k
=A
2m
=PA
2m
P
-1
=P(A
2
)
m
P
-1
[*]其中λ
i
为1或-1,于是λ
i
2
=1,i=1,2,…,n.当k为奇数时,记k=2m-1,m为正整数,有A
k
=A
2m-1
=A
2m-2
A=EA=A.
解析
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考研数学二
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