2. 考研
  3. [2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．

admin2021-01-25  46
问题 [2006年]  设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(    )．
选项 A、若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0
B、若fx’(x0，y0)=0， 则f’y(x0，y0)≠0
C、若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0
D、若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0
答案D
解析 解一  由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有
            fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，    ①
            fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．    ②
    若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．
    解二  构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则
                  
由式③与式④消去λ0得到
        fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．
即    f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．
    整理得
    若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．
    解三  由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．
    在φ(x，y)=0两边对x求导，得到
           
因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．
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考研数学三

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