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[2006年] 设f(x,y)与φ(z,y)均为可微函数,且φy’(x,y)≠0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,Y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
[2006年] 设f(x,y)与φ(z,y)均为可微函数,且φy’(x,y)≠0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x,Y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
admin
2021-01-25
34
问题
[2006年] 设f(x,y)与φ(z,y)均为可微函数,且φ
y
’(x,y)≠0,已知(x
0
,y
0
)是f(x,y)在约束条件φ(x,Y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
选项
A、若f
x
’(x
0
,y
0
)=0,则f
y
’(x
0
,y
0
)=0
B、若f
x
’(x
0
,y
0
)=0, 则f’
y
(x
0
,y
0
)≠0
C、若f
x
’(x
0
,y
0
)≠0,则f
y
’(x
0
,y
0
)=0
D、若f
x
’(x
0
,y
0
)≠0,则f’
y
(x
0
,y
0
)≠0
答案
D
解析
解一 由拉格朗日乘数法知,若(x
0
,y
0
)是f(x,y)在条件φ(x,y)=0下的极值点,则必有
f
x
’(x
0
,y
0
)+λφ
x
’(x
0
,y
0
)=0, ①
f
x
’(x
0
,y
0
)+λφ
x
’(x
0
,y
0
)=0. ②
若f
x
’(x
0
,y
0
)≠0,由式①知λ≠0.又由题设有φ
y
’(x
0
,y
0
)≠0,再由式②知f
y
’(x
0
,y
0
)≠0.仅(D)入选.
解二 构造拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),并记对应于极值点(x
0
,y
0
)处的参数的值为λ
0
,则
由式③与式④消去λ
0
得到
f
x
’(x
0
,y
0
)/φ
x
’(
0
,y
0
)=一λ
0
=f’
y
(x
0
,y
0
)/φ’
y
(x
0
,y
0
).
即 f’
x
(x
0
,y
0
)φ’
y
(x
0
,y
0
)一f
y
’(x
0
,y
0
)φ
x
’(x
0
,y
0
)=0.
整理得
若f
x
’(x
0
,y
0
)≠0,则由式③知,φ
x
’(x
0
,y
0
)≠0.因而f
y
’(x
0
,y
0
)≠0.仅(D)入选.
解三 由题设φ
y
’(x,y)≠0知,φ(x,y)=0确定隐函数y=y(x).将其代入f(x,y)中得到f(x,y(x)).此为一元复合函数.
在φ(x,y)=0两边对x求导,得到
因f(x,y(x))在x=x
0
处取得极值,由其必要条件得到f’
x
+f
y
’y’=f
x
’+f
y
’(一φ
x
’/φ
y
’)=0.因而当f
x
’(x
0
,y
0
)≠0时,必有f
y
’(x
0
,y
0
)≠0.仅(D)入选.
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考研数学三
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