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设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
admin
2018-04-14
74
问题
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
选项
答案
由题设及曲率公式,有 [*] (因曲线y=y(x)向上凸,y"<0,|y"|=-y"),化简得 [*] 解得 arctany’=-x+C
1
。 由题设,曲线上点(0,1)处的切线方程为y=1+x,可知y(0)=1,y’(0)=1。 以x=0代入上式,得C
1
=π/4。于是有arctany’=-x+[*],故有 [*] (上式中注明区间是-π/4<x<3π/4的原因:本题中使正切函数有意义的区间有很多,一般可以写成[*]+2nπ,本题选择-π/4<x<3π/4是因为题设曲线在x=0处有值,又已知曲线是一条连续曲线,因此解的范围应该包含x=0在内并且使y(x)连续的一个区间) 再积分得 [*] 又由题设可知y(0)=1,代入确定C
2
=1-lncos[*]ln2,于是所求的曲线方程为 [*] 由于cos([*]-x)≤1,且lnx在定义域内是增函数,所以当且仅当cos([*]-x)=1时,即x=π/4时y取得最大值,由于π/4∈(-π/4,3π/4),所以此时也是y取极大值,极大值为y=1+[*]ln2;显然y在-π/4<x<3π/4没有极小值。
解析
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考研数学二
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