2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b的值； (2)利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b的值； (2)利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2018-07-26  98
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
(1)求a，b的值；
(2)利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案1 (1)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λ1，λ2，λ3，则由题设，有 [*] 由此解得a=1，b=2． (2)由A的特征多项式 [*] =(λ－2)2(λ+3) 得A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=－3． 对于λ1=λ2=2，解齐次线性方程组(2E－A)x=0，由 [*] 得基础解系 ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(2，0，1)T． 对于λ3=－3，解齐次线性方程组(－3E－A)x一0，由 [*] 得基础解系 ξ3=(1，0，－2)T． ξ1，ξ2，ξ3已是正交向量组，将它们单位化，得 [*] 二次型f在正交变换x=py下的标准形为 f=2y12+2y22－3y32． 2 (1)f的矩阵为 [*] A的特征多项式为 [*] =(λ－2)[λ2－(a－2)λ－(2a+b2)]． 设A的特征值为λ1，λ2，λ3，则 λ1=2，λ2+λ3=a－2，λ2λ3=－(2a+b2)， 由题设得 [*] 解之得a=1，b=2． (2)由(1)可得A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=－3．以下同解1．
解析
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考研数学三

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