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设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b的值; (2)利用正交变换将二次型,化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12. (1)求a,b的值; (2)利用正交变换将二次型,化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
admin
2018-07-26
65
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX=ax
1
2
+2x
2
2
-2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.
(1)求a,b的值;
(2)利用正交变换将二次型,化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
选项
答案
1 (1)二次型f的矩阵为 [*] 设A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则由题设,有 [*] 由此解得a=1,b=2. (2)由A的特征多项式 [*] =(λ-2)
2
(λ+3) 得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3. 对于λ
1
=λ
2
=2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0,由 [*] 得基础解系 ξ
1
=(0,1,0)
T
,ξ
2
=(2,0,1)
T
. 对于λ
3
=-3,解齐次线性方程组(-3E-A)x一0,由 [*] 得基础解系 ξ
3
=(1,0,-2)
T
. ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
已是正交向量组,将它们单位化,得 [*] 二次型f在正交变换x=py下的标准形为 f=2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
. 2 (1)f的矩阵为 [*] A的特征多项式为 [*] =(λ-2)[λ
2
-(a-2)λ-(2a+b
2
)]. 设A的特征值为λ
1
,λ
2
,λ
3
,则 λ
1
=2,λ
2
+λ
3
=a-2,λ
2
λ
3
=-(2a+b
2
), 由题设得 [*] 解之得a=1,b=2. (2)由(1)可得A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=-3.以下同解1.
解析
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考研数学三
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