设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角形矩阵．

admin2019-12-26 69

问题设矩阵

已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P^－1AP为对角形矩阵．

选项

答案因为A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，所以A的属于λ=2的线性无关的特征向量必有两个，故r(2E－A)=1．经过初等行变换，得 [*] 解得x=2，y=－2．设A的特征值为λ₁，λ₂，λ₃，且λ₁=λ₂=2，则tnA=λ₁+λ₂+λ₃=2+2+λ₃=1+4+5=10，得λ₃=6．对于特征值λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E－A)x=0，有 [*] 对应的两个线性无关的特征向量为 ξ₁=(1，－1，0)^T，ξ₂=(1，0，1)^T．对于特征值λ₃=6，解齐次线性方程组(6E－A)x=0，有 [*] 对应的特征向量为 ξ₃=(1，－2，3)^T．令可逆矩阵 [*] 则有 [*]

解析

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考研数学三

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设矩阵已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角形矩阵．

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设A是主对角元为0的4阶实对称矩阵，E是4阶单位矩阵，B=．且E+AB是不可逆的对称矩阵，求A．

设函数y=f（x）由方程y—x=ex（1—y）确定，则=________。

设函数f(χ)＝aχ(a＞0，a≠1)，则[f(1)f(2)…f(n)]＝_______．

设A＝(aij)3×3是实正交矩阵，且a11＝1，b＝(1，0，0)T，则线性方程组Ax＝b的解是_______．

与α1=[1，2，3，－1]T，α2=[0，1，1，2]T，α3=[2，1，3，0]T都正交的单位向量是_________．

设n阶矩阵A满足A2=A，E为n阶单位阵，则r(A)+r(A-E)=_______

设总体X的密度函数为(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的简单随机样本．求θ的矩估计量；

设n阶矩阵A满足(aW一A)(bE—A)=0且a≠b．证明：A可对角化．

已知矩阵X满足AX=A-1+2X，其中A是A的伴随矩阵，则=____________。

设求曲线y=f(x)与x轴所围图形面积．

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