微分方程y’’+y=x2的通解为_____．

admin2019-05-12 43

问题微分方程y’’+y=x²的通解为_____．

选项

答案y=C₁cosx+C₂sinx+x²-2

解析这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．
首先求y’’+y=0的通解．y’’+y=0的特征方程为r²+1=0，特征根为r=±i，所以其通解为
Y=C₁cosx+C₂sinx．
其次求y’’+y=x²的一个特解．设其一个特解为y^*=Ax²+Bx+C，则y^*’=2Ax+B，y^*’’=2A，将其代入到y’’+y=x²并化简，得
Ax²+Bx+2A+C=x²，
比较等式两边x同次幂的系数，得
A=1， B=0， 2A+C=0，
所以A=1，B=0，C=-2，故y^*=x²-2．
最后写出y’’+y=x²的通解，为
y=Y+y’=C₁cosx+C₂sinx+x²-2．

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