设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：∫01ef(x)dx∫01e—f(y)dy≥1．

admin2021-08-02 51

问题设函数f(x)在[0，1]上连续，证明：∫₀¹e^f(x)dx∫₀¹e^—f(y)dy≥1．

选项

答案方法一显然积分区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)．记I=∫₀¹e^f(x)dx∫₀¹e^f(y)dy=[*]由对称性，知 [*] 方法二由泰勒公式知，对任意的x∈R，恒有 [*](其中ζ介于0和x之间)，所以，有e^f(x)—f(y)≥1+f(x)一f(y)．从而 ∫₀¹e^f(x)dx∫₀¹e^f(y)dy≥∫₀¹dx∫₀¹[1+f(x)—f(y)]dy =1+∫₀¹dx∫₀¹f(x)dy—∫₀¹dx∫₀¹f(y)dy=1.

解析

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