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设函数f(x)在[0,1]上连续,证明:∫01ef(x)dx∫01e—f(y)dy≥1.
设函数f(x)在[0,1]上连续,证明:∫01ef(x)dx∫01e—f(y)dy≥1.
admin
2021-08-02
70
问题
设函数f(x)在[0,1]上连续,证明:∫
0
1
e
f(x)
dx∫
0
1
e
—f(y)
dy≥1.
选项
答案
方法一 显然积分区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1). 记I=∫
0
1
e
f(x)
dx∫
0
1
e
f(y)
dy=[*]由对称性,知 [*] 方法二 由泰勒公式知,对任意的x∈R,恒有 [*](其中ζ介于0和x之间), 所以,有e
f(x)—f(y)
≥1+f(x)一f(y).从而 ∫
0
1
e
f(x)
dx∫
0
1
e
f(y)
dy≥∫
0
1
dx∫
0
1
[1+f(x)—f(y)]dy =1+∫
0
1
dx∫
0
1
f(x)dy—∫
0
1
dx∫
0
1
f(y)dy=1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/vWy4777K
0
考研数学二
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