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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1。证明必存在ξ,η∈(a,b),使得eη—ξ[f(η)+f’(η)]=1。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1。证明必存在ξ,η∈(a,b),使得eη—ξ[f(η)+f’(η)]=1。
admin
2021-11-09
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问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b)=1。证明必存在ξ,η∈(a,b),使得e
η—ξ
[f(η)+f’(η)]=1。
选项
答案
设F(x)=e
x
f(x),由已知f(x)及e
x
在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,均满足拉格朗日中值定理条件,因此存在ξ,η∈(a,b),使得 F(b)一F(a)=e
b
f(b)一e
a
f(a)=F’(η)(b一a)=e
η
[f’(η)+f(η)](b一a) 及 e
b
一e
a
=e
ξ
(b—a)。 将以上两式相比,且由f(a)=f(b)=1,整理后有 e
η—ξ
[f(η)+f’(η)]=1。
解析
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考研数学二
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