2. 考研
  3. 已知向量组试问当a，b，c满足什么条件时， (1)β可由α1,α2,α3线性表示，且表示式唯一； (2)β不能由α1,α2,α3线性表示； (3)β可由α1,α2,α3线性表示，但表示式不唯一，并写出一般表达式．

已知向量组试问当a，b，c满足什么条件时， (1)β可由α1,α2,α3线性表示，且表示式唯一； (2)β不能由α1,α2,α3线性表示； (3)β可由α1,α2,α3线性表示，但表示式不唯一，并写出一般表达式．

admin2017-12-23  27
问题 已知向量组试问当a，b，c满足什么条件时，
(1)β可由α1,α2,α3线性表示，且表示式唯一；
(2)β不能由α1,α2,α3线性表示；
(3)β可由α1,α2,α3线性表示，但表示式不唯一，并写出一般表达式．
选项
答案β可否由α1,α2,α3线性表示，即非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β是否有解．由于方程组系数行列式[*]所以， (1)当a≠－4时，即｜A｜≠0，方程组有唯一解，β可由α1,α2,α3线性表示，且表示式唯一． (2)当a=一4时，对方程组的增广矩阵施以初等行变换[*]显然，当3b—c≠1时，则r(A)≠r(A，β)，方程组无解，β不能由α1,α2,α3线性表示． (3)当a=一4，3b—c=1时，r(A)=r(A，β)=2＜3，方程组有无穷多解，β可由α1,α2,α3线性表示，表示式不唯一，解方程组得[*]因此有β=kα1一(2k+b+1)α2+(2b+1)α3，k为任意常数．
解析 本题考查一个向量能否由一组向量线性表示与其对应的非齐次线性方程组是否有解的问题．
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考研数学二

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