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设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=-f(ξ)cotξ.
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=-f(ξ)cotξ.
admin
2019-09-04
47
问题
设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,证明:至少存在一点ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=-f(ξ)cotξ.
选项
答案
令φ(x)=f(x)sinx,则φ(0)=φ(π)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,π),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx, 于是f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0,故f’(ξ)=-f’(ξ)cotξ.
解析
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考研数学三
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