2. 考研
  3. 设矩阵A=(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j=1．2，…，n)．记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 α1=(Ar+1，1，…，Ar+1，n)T α2=(Ar+2，1，…，Ar+2，n)T αn－r=(An1，…，Ann

设矩阵A=(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j=1．2，…，n)．记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 α1=(Ar+1，1，…，Ar+1，n)T α2=(Ar+2，1，…，Ar+2，n)T αn－r=(An1，…，Ann

admin2018-07-27  53
问题 设矩阵A=(aij)n×n的秩为n，aij的代数余子式为Aij(i，j=1．2，…，n)．记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组
α1=(Ar+1，1，…，Ar+1，n)T
α2=(Ar+2，1，…，Ar+2，n)T
αn－r=(An1，…，Ann)T

是齐次线性方程组Bx=0的基础解系．
选项
答案r(B)=r，[*]方程组Bx=0的基础解系含n－r个向量，故只要证明α1，α2，…，αn－r是方程组Bx=0的线性无关解向量即可．首先，由行列式的性质，有[*]aijAkj=0(i=1，2，…，r；k=r+1，r+2，…，n)．故α1，α2，…，αn－r都是Bx=0的解向量；其次，由于|A*|=|A|n－1≠0．知A*的列向量组线性无关，而α1，α2，…，αn－r正好是A*的后n－r列，故α1，α2，…，αn－r线性无关，因此α1，α2，…，αn－r是Bx=0的n－r个线性无关解向量，从而可作为Bx=0的基础解系．
解析
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考研数学三

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