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[2006年] 设f(x，y)为连续函数，则∫0π/4dθ∫01f(rcosθ,rsinθ)rdr等于( )．

admin2021-01-19  57
问题 [2006年] 设f(x，y)为连续函数，则∫0π/4dθ∫01f(rcosθ,rsinθ)rdr等于(    )．
选项 A、∫0√2/2dxf(x，y)dy
B、∫0√2/2dxf(x，y)dy
C、∫0√2/2dxf(x，y)dx
D、∫0√2/2dxf(x，y)dx
答案C
解析 画出二重积分的积分区域D，如图1．5．3．5所示，然后将极坐标系下的二次积分表示式还原为直角坐标系的二次积分，最后根据积分区域确定积分限．
解一  由题设可知，积分区域D为Y型区域，用极坐标可表示为D={(r，θ)∣0≤r≤1，0≤θ≤π／4)，易求得y=x与x2+y2=1在第一象限的交点为(√2／2，√2／2)，于是可用直角坐标系表示Y型区域D为
D={(x，y)∣y≤x≤，0≤y≤√2／2)，
故    原式=∫0√2/2dyf(x，y)dx．仅(C)入选．
解二  用排除法确定正确选项．若选用先y后x的积分次序，由图1．5．3．4知，应分块积分．由于选项中没有分块积分的项，故(A)，(B)不成立．若选用先x后y的积分次序，由图1．5．3．4易知，内层积分(第一次积分)的下限应为y，而(D)中为0，故(D)不对．仅(C)入选．
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考研数学二

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