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[2006年] 设f(x,y)为连续函数,则∫0π/4dθ∫01f(rcosθ,rsinθ)rdr等于( ).
[2006年] 设f(x,y)为连续函数,则∫0π/4dθ∫01f(rcosθ,rsinθ)rdr等于( ).
admin
2021-01-19
81
问题
[2006年] 设f(x,y)为连续函数,则∫
0
π/4
dθ∫
0
1
f(rcosθ,rsinθ)rdr等于( ).
选项
A、∫
0
√2/2
dx
f(x,y)dy
B、∫
0
√2/2
dx
f(x,y)dy
C、∫
0
√2/2
dx
f(x,y)dx
D、∫
0
√2/2
dx
f(x,y)dx
答案
C
解析
画出二重积分的积分区域D,如图1.5.3.5所示,然后将极坐标系下的二次积分表示式还原为直角坐标系的二次积分,最后根据积分区域确定积分限.
解一 由题设可知,积分区域D为Y型区域,用极坐标可表示为D={(r,θ)∣0≤r≤1,0≤θ≤π/4),易求得y=x与x
2
+y
2
=1在第一象限的交点为(√2/2,√2/2),于是可用直角坐标系表示Y型区域D为
D={(x,y)∣y≤x≤
,0≤y≤√2/2),
故 原式=∫
0
√2/2
dy
f(x,y)dx.仅(C)入选.
解二 用排除法确定正确选项.若选用先y后x的积分次序,由图1.5.3.4知,应分块积分.由于选项中没有分块积分的项,故(A),(B)不成立.若选用先x后y的积分次序,由图1.5.3.4易知,内层积分(第一次积分)的下限应为y,而(D)中为0,故(D)不对.仅(C)入选.
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0
考研数学二
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