已知的任意两个特征向量都线性相关，则a=________．

admin2017-11-22 53

问题已知

的任意两个特征向量都线性相关，则a=________．

选项

答案—2．

解析因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关，所以条件说明A的三个特征值都相等，即A有一个3重特征值λ．3λ=tr(A)=3，于是λ=1．
有 |λE—A|=（λ—1）³．

=λ+1+a(a+λ+2)+(λ—1)(λ²—2λ—8—5a)
= a²+λ(a+1)+2a+1+(λ—1)(λ²—2λ+1—9— 5a)
= (λ—1)³+λ(a+1)+a²+2a+1— (λ— 1)(5a+9)
= (λ—1)³— (8+4a)λ+a²+7a+10 ．
则8+4a=0并且a²+7a+10=0，
得a=一2．

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考研数学三

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