计算二重积分I=r2sinθdrdθ，其中D={(r，θ)|0≤r≤secθ，0≤θ≤π／4}。

admin2021-01-19 50

问题计算二重积分I=

r²sinθ

drdθ，其中D={(r，θ)|0≤r≤secθ，0≤θ≤π／4}。

选项

答案将极坐标转化为直角坐标可得积分区域，由x=rcosθ，y=rsinθ，则 [*] 由D的极坐标表示：0≤θ≤π／4，0≤r≤1／cosθ，可知D的边界线是：y=0，y=x，x=1。即 D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，如下图所示。 [*] =1／2∫₀¹dx∫₀^x[*]d(1－x²+y²)=1／3∫₀¹(1－x²+y²)^3／2|₀^xdx =1／3∫₀¹[1－(1－x²)^3／2]dx。利用换元法，记x=sint，则 [*]

解析

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