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(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定,求; (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所确定,求dy|x=0=0; (Ⅲ)设函数y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且f’≠1,求.
(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定,求; (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所确定,求dy|x=0=0; (Ⅲ)设函数y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且f’≠1,求.
admin
2017-10-23
89
问题
(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x
2
+y
2
)+e
x
一xy
2
=0所确定,求
;
(Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x
3
+y
3
一sin3x+6y=0所确定,求dy|
x=0
=0;
(Ⅲ)设函数y=f(x+y),其中f具有二阶导数,且f’≠1,求
.
选项
答案
(Ⅰ)将原方程两边直接对x求导数,并注意y是x的函数,然后解出y’即可.由 (2x+2y.y’)cos(x
2
+y
2
)+e
x
一y
2
—2xy.y’=0, 得 [*] (Ⅱ)先用隐函数求导法求出y’,再求微分dy=y’dx.在方程的两边对x求导,并注意到y是x的函数,得 3x
2
+3y
2
y’一3cos3x+6y’=0. 又y|
x=0
=0,上式中令x=0,y=0解得y|
x=0
=[*]. (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定,f为抽象函数,若把f(x+y)看成f(u),u=x+y,y=y(x),则变成复合函数和隐函数的求导问题.注意,f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数. 将Yy=f(x+y)两边对x求导,并注意y是x的函数,f是关于x的复合函数,有 y’=f’.(1+y’),即y’=[*]. 又由y’=(1+y’)f’再对x求导,并注意y’是x的函数,f’仍然是关于x的复合函数,有 y"=(1+y’)’y’+(1+y’)(f’)’ =y"f’+(1+y’)f".(1+y’) =y"f’+(1+y’)
2
f", [*]
解析
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考研数学三
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