2. 考研
  3. (Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定，求； (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所确定，求dy｜x=0=0； (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求．

(Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定，求； (Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所确定，求dy｜x=0=0； (Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求．

admin2017-10-23  127
问题 (Ⅰ)设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定，求；
(Ⅱ)设函数y=y(x)由方程x3+y3一sin3x+6y=0所确定，求dy｜x=0=0；
(Ⅲ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求．
选项
答案(Ⅰ)将原方程两边直接对x求导数，并注意y是x的函数，然后解出y’即可．由 (2x+2y．y’)cos(x2+y2)+ex一y2—2xy．y’=0， 得 [*] (Ⅱ)先用隐函数求导法求出y’，再求微分dy=y’dx．在方程的两边对x求导，并注意到y是x的函数，得 3x2+3y2y’一3cos3x+6y’=0． 又y｜x=0=0，上式中令x=0，y=0解得y｜x=0=[*]． (Ⅲ)y=y(x)由方程f(x+y)一y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，u=x+y，y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数． 将Yy=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有 y’=f’．(1+y’)，即y’=[*]． 又由y’=(1+y’)f’再对x求导，并注意y’是x的函数，f’仍然是关于x的复合函数，有 y"=(1+y’)’y’+(1+y’)(f’)’ =y"f’+(1+y’)f"．(1+y’) =y"f’+(1+y’)2f"， [*]
解析
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考研数学三

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