2. 考研
  3. 设曲线L：y＝y(x)满足：y’－∫0xy(t)dt＝0，且y(0)＝1． (Ⅰ)求y＝y(x)； (Ⅱ)求曲线段y＝y(x)(－1≤x≤1)的弧长； (Ⅲ)求曲线段y＝y(x)(－1≤x≤1)绕x＝1旋转一周所得旋转体的体积．

设曲线L：y＝y(x)满足：y’－∫0xy(t)dt＝0，且y(0)＝1． (Ⅰ)求y＝y(x)； (Ⅱ)求曲线段y＝y(x)(－1≤x≤1)的弧长； (Ⅲ)求曲线段y＝y(x)(－1≤x≤1)绕x＝1旋转一周所得旋转体的体积．

admin2021-03-18  59
问题 设曲线L：y＝y(x)满足：y’－∫0xy(t)dt＝0，且y(0)＝1．
(Ⅰ)求y＝y(x)；
(Ⅱ)求曲线段y＝y(x)(－1≤x≤1)的弧长；
(Ⅲ)求曲线段y＝y(x)(－1≤x≤1)绕x＝1旋转一周所得旋转体的体积．
选项
答案(Ⅰ)由y’－∫0xy(t)dt＝0得y"－y＝0， 特征值为λ1＝－1，λ2＝1，则y"－y＝0的通解为y＝C1e－x＋C2ex； 由y(0)＝1，y’(0)＝0得C1＝C2＝[*] 故[*] (Ⅱ)所求的曲线段的长度为 [*] (Ⅲ)取[x，x＋dx][*][－1．1]， dV＝2π(1－x)·y·dx＝2π(1－x)·[*]·dx＝π(1－x)(ex＋e－x)dx， 则 V＝π∫－11(1－x)(ex＋e－x)dx＝π∫－11(ex＋e－x)dx ＝2π∫01(ex＋e－x)dx＝2π(e－[*])．
解析
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考研数学二

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