求微分方程y"+4y’+ 4y=eax之通解，其中a为实数．

admin2021-01-19 46

问题求微分方程y"+4y’+ 4y=e^ax之通解，其中a为实数．

选项

答案特征方程为 r²+4r+4=0 解得 r₁一 r₂=一2 则齐次方程通解为 [*]=(C₁+C₂x)e^一2x 当a≠一2时，原方程特解可设为 y^*=Ae^ax 代入原方程得 [*] 故特解为 y^*=[*] 当a=一2时，原方程特解可设为 y^*=Ax²e^一2x 代入原方程得 [*] 故特解为 y^*=[*]x²e^一2x 综上所述，原方程通解为 y=(C₁+C₂x)e^一2x+[*](a≠一2) y=(C₁+C₂x+[*]x²)e^一2x (a=一2)

解析

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考研数学二

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设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点。试求曲线L的方程；
平面曲线L：绕z轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．
求下列曲线的曲率或曲率半径：(Ⅰ)求y＝lnχ在点(1，0)处的曲率半径．(Ⅱ)求χ＝t－ln(1＋t2)，y＝arctant在t＝2处的曲率．
设f(x)为连续函数，试证明：F(x)的奇偶性正好与f(x)的奇偶性相反；
设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的特解。
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