2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=0，方程f(x)=0在(0，1)内有实根x0，证明： 存在不同的ξ1，ξ2∈(0，1)，使得ξ1f’(ξ1)+f(ξ1)=ξ2f’(ξ2)+f(ξ2)=0；

设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=0，方程f(x)=0在(0，1)内有实根x0，证明： 存在不同的ξ1，ξ2∈(0，1)，使得ξ1f’(ξ1)+f(ξ1)=ξ2f’(ξ2)+f(ξ2)=0；

admin2022-01-19  2
问题 设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=0，方程f(x)=0在(0，1)内有实根x0，证明：
存在不同的ξ1，ξ2∈(0，1)，使得ξ1f’(ξ1)+f(ξ1)=ξ2f’(ξ2)+f(ξ2)=0；
选项
答案令g(x)-xf(x)，g(0)=g(x0)=g(1)=0．由罗尔定理，可知存在ξ1∈(0，x0)，ξ2∈(x0，1)，使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，即 ξ1f’(ξ1)+f(ξ1)=ξ2f’(ξ2)+f(ξ2)=0．
解析
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考研数学一

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