设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中0<a<b,试证至少存在一点ξ∈(a,b),使得 alnb-blna=(ab2-ba2).

admin2019-07-23  29

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中0<a<b,试证至少存在一点ξ∈(a,b),使得 alnb-blna=(ab2-ba2)

选项

答案等式可改写成 [*] 作辅助函数f(x)=[*],则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,由拉格朗日中值定理知,存 在ξ∈(a,b),使得 [*] 亦即 alnb-blna=(ab2一ba2)[*].

解析 待证的中值等式中含有af(b)一bf(a)这样的项,为找出辅助函数,常先用ab去除等式两端,从而找出两函数值的差.该函数就是要找的辅助函数.本例用ab去除等式两端即得

于是辅助函数F(x)=就出现了.
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