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(2008年试题,19)设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(x)=1.对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体,若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,
(2008年试题,19)设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(x)=1.对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体,若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,
admin
2013-12-18
69
问题
(2008年试题,19)设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(x)=1.对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体,若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式.
选项
答案
旋转体的体积为[*]旋转体的侧面积为[*]由题意[*]可得[*]两边求导得[*]又f(0)=1,则f(t)不恒等于零.故[*]f(t),平方得1+[f
’
(t)]
2
=f
2
(t),再对两边求导2f
’
(t)f
’’
(t);2f
’
=(t)f(t),即f
’’
(t)=f(t)因而其特征方程为λ
2
—1=0,特征根λ
1
λ
2
=±1,则通解为f(t)=C
1
e
t
+C
2
e
-t
.又1+[f
’
(t)]
2
=f
2
(t),则C
1
C
2
=[*]所以[*]再由f(0)=1,得[*]故曲线方程为[*]
解析
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考研数学二
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