(2008年试题,19)设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(x)=1.对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体,若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,

admin2013-12-18  47

问题 (2008年试题,19)设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(x)=1.对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体,若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式.

选项

答案旋转体的体积为[*]旋转体的侧面积为[*]由题意[*]可得[*]两边求导得[*]又f(0)=1,则f(t)不恒等于零.故[*]f(t),平方得1+[f(t)]2=f2(t),再对两边求导2f(t)f’’(t);2f=(t)f(t),即f’’(t)=f(t)因而其特征方程为λ2—1=0,特征根λ1λ2=±1,则通解为f(t)=C1et+C2e-t.又1+[f(t)]2=f2(t),则C1C2=[*]所以[*]再由f(0)=1,得[*]故曲线方程为[*]

解析
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