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(1)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫ab(x)dx=f(η)(b-a); (2)若函数ψ(x)具有二阶导数,且满足ψ(2)>ψ(1),ψ(2)>∫abψ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3)
(1)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫ab(x)dx=f(η)(b-a); (2)若函数ψ(x)具有二阶导数,且满足ψ(2)>ψ(1),ψ(2)>∫abψ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3)
admin
2014-01-26
139
问题
(1)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得∫
a
b
(x)dx=f(η)(b-a);
(2)若函数ψ(x)具有二阶导数,且满足ψ(2)>ψ(1),ψ(2)>∫
a
b
ψ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得ψ"(ξ)<0.
选项
答案
(1)设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则 m(b-a)≤∫
a
b
f(x)≤M(b-a). 即有[*],根据闭区间上连续函数的介值定理知:存在η∈[a,b],使得[*],即∫
a
b
f(x)dx=f(η)(b-a)。 (2)由(1)的结论,可知至少存在一点η∈[2,3],使 ∫
2
3
ψ(x)dx=ψ(η)(3—2)=ψ(η)。 又由ψ(2)>∫
2
3
ψ(x)dx=ψ(η)知,2<<η<3。 对ψ(x)在[1,2]和[2,η]上分别应用拉格朗日中值定理,并注意到ψ(1)<ψ(2), ψ(η)<ψ(2)。得 [*] 存[ξ
1
,ξ
2
]上对导函数ψ’(x)应用拉格朗日中值定理,有 [*]
解析
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考研数学二
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