2. 考研
  3. (1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ab(x)dx＝f(η)(b－a)； (2)若函数ψ(x)具有二阶导数，且满足ψ(2)＞ψ(1)，ψ(2)＞∫abψ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)

(1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ab(x)dx＝f(η)(b－a)； (2)若函数ψ(x)具有二阶导数，且满足ψ(2)＞ψ(1)，ψ(2)＞∫abψ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)

admin2014-01-26  139
问题 (1)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则至少存在一点η∈[a，b]，使得∫ab(x)dx＝f(η)(b－a)；
(2)若函数ψ(x)具有二阶导数，且满足ψ(2)＞ψ(1)，ψ(2)＞∫abψ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得ψ"(ξ)＜0．
选项
答案(1)设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值及最小值，则 m(b－a)≤∫abf(x)≤M(b－a)． 即有[*]，根据闭区间上连续函数的介值定理知：存在η∈[a，b]，使得[*]，即∫abf(x)dx＝f(η)(b－a)。 (2)由(1)的结论，可知至少存在一点η∈[2，3]，使 ∫23ψ(x)dx＝ψ(η)(3—2)＝ψ(η)。 又由ψ(2)＞∫23ψ(x)dx＝ψ(η)知，2<＜η＜3。 对ψ(x)在[1，2]和[2，η]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到ψ(1)＜ψ(2)， ψ(η)＜ψ(2)。得 [*] 存[ξ1，ξ2]上对导函数ψ’(x)应用拉格朗日中值定理，有 [*]
解析
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考研数学二

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