设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(χ，y)＝，－∞＜χ，y＜＋∞，记Z＝X2＋Y2．求： (Ⅰ)Z的密度函数； (Ⅱ)EZ，DZ； (Ⅲ)P{Z≤1}．

admin2018-11-23 32

问题设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为
f(χ，y)＝

，－∞＜χ，y＜＋∞，
记Z＝X²＋Y²．求：
(Ⅰ)Z的密度函数；
(Ⅱ)EZ，DZ；
(Ⅲ)P{Z≤1}．

选项

答案(Ⅰ)当z≤0时，F(z)＝0；当z＞0时， F(z)＝P{Z≤z}＝P{X²＋Y²≤z} ＝[*] 于是f_Z(z)＝F′(z)＝[*] 由此可以看出，Z服从参数为[*]的指数分布． (Ⅱ)由f(χ，y)＝[*]可知，X与Y相互独立，且X²与Y²也独立，又X～N(0，σ²)，Y～N(0，σ²)，故 EZ＝E(X²＋Y²)＝EX²＋EY²＝2DX＝2σ²， DZ＝D(X²＋Y²)＝DX²＋DY²＝2DX²， [*] DX²＝EX⁴－(EX²)²＝3σ⁴－σ⁴＝2σ⁴，故DZ＝4σ⁴． (Ⅲ)P{Z≤1}＝[*]

解析

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考研数学一

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